Estimation Statistique

Estimation ponctuelle d'une moyenne

Utiliser la moyenne empirique $\bar{X}$ comme estimateur ponctuel de la moyenne inconnue $\mu$.

Intervalle de confiance - Approximation normale

Construire un intervalle de confiance pour $\mu$ lorsque $n$ est grand et la variance inconnue, en utilisant la loi normale centrée réduite.

Calcul de la marge d'erreur

Calculer la marge d'erreur $\text{ME} = z_c \frac{s}{\sqrt{n}}$ à partir du quantile $z_c$, de l'écart-type empirique $s$ et de la taille $n$.

Intervalle de confiance - Loi de Student

Construire un intervalle de confiance pour $\mu$ avec la loi de Student à $n-1$ degrés de liberté lorsque $n < 30$ et la population est normale.

Formule de taille d'échantillon

Appliquer la formule $n \geq \left(\frac{z_c s}{\text{ME}_{\max}}\right)^2$ pour déterminer la taille d'échantillon requise.

Application avec loi normale

Calculer $n$ pour une marge d'erreur donnée en utilisant le quantile $z_c$ de la loi normale (ex. $z_c = 1,645$ pour 90%).

Application pour petits échantillons

Calculer $n$ pour un test de Student en utilisant l'approximation normale avec $z_c = 1,96$ au niveau de confiance 95%.

Intervalle de confiance d'une proportion

Construire un intervalle de confiance $\hat{p} \pm z_c \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ pour une proportion $p$.

Conversion en nombre de sujets

Convertir les bornes d'un intervalle de confiance pour une proportion en effectifs en multipliant par la taille $n$.

Taille d'échantillon pour une proportion

Calculer la taille d'échantillon minimale $n \geq z_c^2 \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{m^2}$ pour une marge d'erreur $m$ donnée.

Hypothèses du test apparié

Formuler les hypothèses $H_0: \mu_D = 0$ et $H_1: \mu_D \neq 0$ (ou unilatérales) pour un test sur des différences appariées.

Calcul des différences appariées

Calculer les différences $d_i = X_i^{\text{après}} - X_i^{\text{avant}}$ et leur moyenne $\bar{D}$.

Écart-type des différences

Calculer l'écart-type des différences $S_D = \sqrt{\frac{\sum d_i^2 - n \bar{D}^2}{n-1}}$.

Statistique t et décision

Calculer la statistique $t = \frac{\bar{D}}{S_D/\sqrt{n}}$ et appliquer la règle de décision selon le seuil critique $t_{\alpha}$ à $n-1$ degrés de liberté.

Test d'une moyenne contre une norme

Effectuer un test bilatéral comparant une moyenne observée $\bar{X}$ à une valeur fixe $\mu_0$ avec la statistique $t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$.

Test de deux moyennes indépendantes

Comparer les moyennes de deux échantillons indépendants avec la statistique $t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{S_c \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$ à $n_1 + n_2 - 2$ degrés de liberté.

Variance commune $S_c^2$

Calculer la variance commune $S_c^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$ pour deux échantillons indépendants.

Conditions d'application des tests

Identifier les conditions requises (normalité, taille d'échantillon, indépendance ou appariement) pour la validité des tests de Student.