Statistiques inférentielles

Situations d'application

Identifier les trois situations principales : comparaison à une norme, échantillons appariés et échantillons indépendants.

Étapes d'un test statistique

Énumérer les quatre étapes : formulation des hypothèses, définition du seuil, calcul de la statistique et prise de décision.

Choix entre test Z et test T

Sélectionner le test approprié selon la taille des échantillons : test Z pour $N > 30$ et test T de Student pour $N \leq 30$.

Condition de normalité

Vérifier que les données suivent une distribution normale dans chaque groupe comparé.

Indépendance des observations

S'assurer que les observations sont indépendantes, sauf dans le cas d'échantillons appariés.

Homogénéité des variances

Vérifier l'égalité des variances entre les groupes comparés (homoscédasticité).

Types de comparaisons

Distinguer les trois types de comparaisons : deux échantillons indépendants, deux échantillons appariés, et comparaison à une norme.

Définition du test de Student

Définir le test t comme outil de comparaison de moyennes pour petits échantillons ($n < 30$) ou variance inconnue.

Calcul des degrés de liberté

Calculer les degrés de liberté selon la formule $\text{ddl} = n - 1$ pour un échantillon de taille $n$.

Valeur critique et décision

Interpréter la statistique $t$ en la comparant à la valeur critique de la table de Student selon le seuil $\alpha$.

Formulation des hypothèses

Formuler $H_0$ (moyenne égale à la norme) et $H_1$ (moyenne différente de la norme) pour un test bilatéral.

Seuil et valeur critique

Appliquer le seuil $\alpha = 0,05$ correspondant à une valeur critique de $1,96$ pour un test Z bilatéral.

Statistique et décision

Calculer la statistique Z ou T et rejeter $H_0$ si $|Z| > 1,96$ (ou $|T|$ dépasse la valeur critique).

Hypothèses d'indépendance

Formuler $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ (pas de différence) et $H_1$ (différence significative) pour deux groupes distincts.

Formule de la statistique t

Calculer $t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$ à partir des moyennes, écarts-types et tailles d'échantillons.

Degrés de liberté de Welch

Appliquer la formule de Welch pour calculer les degrés de liberté lorsque les variances sont inégales.

Interprétation du résultat

Prendre une décision en comparant $|t|$ à la valeur critique de la loi de Student à $df$ degrés de liberté.

Définition des appariements

Définir un échantillon apparié comme des observations regroupées en paires (même individu ou appariement par critères).

Calcul des différences

Calculer les différences individuelles $D_i = X_{2,i} - X_{1,i}$ pour chaque paire d'observations.

Statistique t appariée

Calculer $t = \frac{\bar{D}}{s_D / \sqrt{n}}$ où $\bar{D}$ est la moyenne des différences et $n$ le nombre de paires.

Hypothèse et degrés de liberté

Tester $H_0 : \mu_D = 0$ avec $n-1$ degrés de liberté et comparer $t$ à la valeur critique.