Statistiques à Deux Variables

Analyse de séries statistiques à deux variables quantitatives : représentation graphique, ajustement affine par la méthode des moindres carrés, coefficient de détermination et interprétation des prévisions.

Première · 3 unités · 11 notions · Fiche partagée par Nathalie

Unité 1
Nuage de points et point moyen
Représentation graphique d'une série statistique à deux variables et calcul du point moyen représentatif du nuage.
- Nuage de points
  Définir le nuage de points comme l'ensemble des points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ représentant une série statistique à deux variables quantitatives et visualisant leur relation.
- Tracé du nuage
  Tracer un nuage de points à l'aide d'une calculatrice (entrée des $x_i$ et $y_i$ dans les listes, affichage GRPH1) ou d'Excel (insertion d'un graphique nuage de points).
- Calcul du point moyen
  Calculer les coordonnées $G(\bar{x} ; \bar{y})$ du point moyen en appliquant les formules $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ et $\bar{y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i$ .
Unité 2
Ajustement affine
Modélisation d'un nuage de points par une droite $y = ax + b$ selon la méthode des moindres carrés et utilisation pour réaliser des prévisions.
- Ajustement affine
  Définir l'ajustement affine comme la modélisation d'un nuage de points par une droite $y = ax + b$ minimisant la somme des carrés des écarts verticaux (méthode des moindres carrés).
- Droite des moindres carrés
  Déterminer les coefficients $a$ et $b$ de la droite d'ajustement à l'aide de la méthode des moindres carrés sur calculatrice (REG X) ou Excel (courbe de tendance linéaire).
- Calcul par interpolation
  Estimer une valeur $y$ pour une valeur $x$ située à l'intérieur de l'intervalle des données observées en utilisant l'équation de la droite d'ajustement.
- Calcul par extrapolation
  Estimer une valeur $y$ pour une valeur $x$ située en dehors de l'intervalle des données, ou déterminer $x$ pour une valeur $y$ donnée hors intervalle, en utilisant la droite d'ajustement.
Unité 3
Coefficient de détermination et corrélation
Évaluation de la qualité de l'ajustement affine par le coefficient $R^2$ , analyse de la corrélation linéaire et appréciation de la fiabilité des prévisions.
- Coefficient de détermination
  Définir le coefficient de détermination $R^2$ comme une mesure de la qualité de l'ajustement, comprise entre 0 et 1, quantifiant la proportion de variance expliquée par la droite.
- Interprétation de $R^2$
  Interpréter la valeur de $R^2$ : une valeur proche de 1 indique un bon ajustement et une forte corrélation linéaire, une valeur proche de 0 indique un ajustement peu fiable.
- Corrélation linéaire
  Expliquer que la corrélation linéaire exprime la force de la relation entre deux variables et que sa valeur élevée justifie l'utilisation d'un ajustement affine.
- Fiabilité des prévisions
  Distinguer l'interpolation (estimation fiable à l'intérieur de l'intervalle des données) de l'extrapolation (estimation incertaine à l'extérieur) et justifier la prudence nécessaire pour les prévisions hors intervalle.

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Questions fréquentes

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